Pragmatična matematika
Matematična metoda, znana kot lov in ponovni ulov, izhaja iz ekologije, kjer z njo ocenjujejo velikosti živalskih populacij. Tehniko lahko uporabite tudi sami, tako da vzamete neodvisna vzorca in primerjate prekrivanje. Lov in ulov je v uporabi tudi v resnih znanstvenih projektih. Takšna je pragmatična moč preprostih matematičnih idej. Metoda predvideva, da označiš prvi vzorec, ki ga dobiš. Potem vzameš vzorec še enkrat kasneje. Primerjaš delež označenih enot iz prvega vzorca v celotnem drugem vzorcu. Ta delež potem uporabiš za oceno celotne populacije. Vzameš število celotnega prvega vzorca in ga povečaš glede na delež, ki si ga dobil z drugim vzorcem, tolikokrat, da dobiš celo populacijo. Če je bil delež 20 %, potem število prvega vzorca pomnožiš s pet, da dobiš celotno populacijo.
Eksponentno razmišljanje
Nekaj raste eksponentno, ko se povečuje sorazmerno s svojo trenutno velikostjo. Za eksponentne krivulje včasih pravimo, da imajo obliko črke J, saj skoraj posnemajo strmo krivuljo te črke. V skoraj vsakem scenariju v resničnem svetu je dolgotrajna eksponentna rast nevzdržna.
Bančni račun je edini kraj, kjer prav zares ni nobenih omejitev eksponentne rasti – vsaj na papirju ne. pod pogojem, da so obresti obrestne (to pomeni, da se obresti prištejejo k začetnemu znesku in da tudi same prinašajo obresti), se skupna vsota na računu povečuje sorazmerno s svojo trenutno velikostjo – kar je značilen znak eksponentne rasti.
Eksponentna rast je ključna za hitro večanje števila celic, potrebnih za stvarjenje novega življenja. Obenem pa je osupljiva in grozljiva moč eksponentne rasti spodbudila jedrskega fizika J. R. Oppenheimerja k izjavi: »Postal sem smrt, uničevalec svetov.« Pri tej rasti je šlo za rast energije, ustvarjene s cepitvijo atomskih jeder.
Nestabilni atomi radioaktivnih snovi sami od sebe oddajajo energijo v obliki sevanja tudi brez zunanjega sprožilca v procesu, imenovanem radioaktivni razpad. Vsak atom razpada neodvisno od drugih. Hitrost razpadanja lahko prikažemo z razpolovno dobo snovi, s časom, ki je potreben, da razpade polovica nestabilnih atomov. Razpadanje je eksponentno, zato ne glede na to, koliko radioaktivne snovi je na začetku, bo čas v katerem se bo njena radioaktivnost zmanjšala na polovico, vedno enak.
Virusno trženje je pojav, pri katerem so oglaševalski cilji dosežen s samopodvojevalnim postopkom, podobnim širjenju virusne bolezni. Virusno trženje je pod področje memetike, pri katerem se ‘mem’ – slog, vedenje ali, kar je ključno, ideja – širi med ljudmi po družbenem omrežju tako kot virus.
Eksponentnost naj bi bil mehanizem, ki bi poskrbel za singularnost, kot jo opredeli Ray Kurzweil, ki govori o momentu, ko bo eksponentni razvoj AI pripeljal do tehnološke singularnosti. Tudi Moorov zakon uporablja eksponentnost kot argumentacijo.
Pravimo, da ima okolje določeno ‘nosilno sposobnost’ za določeno vrsto – najvišjo vzdržno populacijsko mejno vrednost. Nosilne sposobnosti številnih živalskih vrst ostajajo dokaj stalne, saj so odvisne od razpoložljivih virov v njihovih okoljih. Pri ljudeh pa so različni dejavniki, med katerimi so industrijska revolucija, mehanizacija kmetijstva in zelena revolucija, pomenili, da je naša vrsta lahko vztrajno povečevala nosilno sposobnost svojega.
Ko gre za eksponentno rast, pa ima majhen upad hitrosti naraščanja ogromen vpliv.
Bolj kot smo seznanjeni z rutinami vsakdanjega življenja, hitreje se nam zdi, da mineva čas – na splošno pa se z leti ta seznanjenost povečuje. Ta teorija predpostavlja, da bi si morali zapolniti življenje z novimi in pestrimi izkušnjami ter se izogniti čas jemajoči vsakdanji rutini, če želimo, da bo naš čas trajal dlje.
Občutljivost, specifičnost in drugo mnenje
S tem ko medicina postaja vse bolj kvantitativna disciplina, matematične formule pogosto predstavljajo nepristransko osnovo za ključne odločitve, naj gre za razpoložljivost posamezne oblike zdravljenja ali, na bolj osebni, za naš izbrani življenjski slog.
Longitudinalne raziskave so najboljši način raziskovanja v medici, vendar velikokrat predrage in prekompleksne, da bi jih izvajali. Zato je dober način, ki se pogosto uporablja, tudi poskus s kontrolno skupino. Ti poskusi omogočijo natančen izračun tako imenovanih ‘razmerij obetov’, kar ne zahteva poznavanja celotne pojavnosti v populaciji.
‘Kvota v korist’, ki je nasprotna ‘kvoti v škodo’, izraža razmerje med verjetnostjo, da se neki dogodek zgodi, in verjetnostjo, da se ne. V medicini se v večini primerov uporabljajo ‘kvote v korist’.
Nedoslednosti v matematičnem pristopu pomenijo, da je treba številčne izračune tveganja predstavljene v zdravstvenih poročilih podjetij za osebno genomiko, jemati s ščepcem soli.
V resnici je ITM leta 1835 prvi zakuhal Belgijec Adolphe Quetelet. Angel Key, ameriški fiziolog, pa je leta 1972 poskušal najti najoptimalnejšo formulo za kazalnik prevelike teže. Njegova formula za izračun ITM je postala priljubljena zato, ker je bila tako preprosta. Jasno je, da ITM ni točen kazalnik zdravja na nobenem koncu.
ITM je samo ena od formul, ki jih zdravstvo uporablja. V britanskem zdravstvu mogoče ena formula izstopa glede spornosti, pomena in daljnosežnih posledic. ‘Božja enačba’ narekuje, katera nova zdravila bo krilo javno zdravstvo. Poskuša ujeti ravnotežje med tem, koliko dodatnih zdravstvenih koristi ima bolnik od zdravila, in tem, koliko več naj bi zdravstvo plačalo zanj. NICE uporablja merilo, imenovano leto življenja, uteženo s kakovostjo življenja, ali QALY (quality-adjusted life year).
Filtriranje je postopke, pri katerem se signal na neki točki zamenja s povprečjem njegovih sosednjih točk. S filtriranjem se običajno signali izravnajo, da so odstopanja manj izrazita. Pri filtriranju lahko celo uporabimo različne vrste povprečij. Najbolj nam je poznano povprečje, imenovano aritmetična sredina. Dobimo jo tako, da seštejemo vse vrednosti v nekem podatkovnem nizu in vsoto delimo s številom teh vrednosti. Bolj reprezentativno povprečje bi bila mediana. Različna povprečja preprosto pridejo prav pri različnih načinih uporabe.
Lažni alarmi so podkategorija tako imenovanih lažno pozitivnih napak. Lažno pozitivni rezultat testa, kot pove že ime, kaže, da neko stanje ali lastnost obstaja, čeprav ne. Običajno se lažno pozitivni rezultati pojavljajo pri binarnih ali dihotomih testih. Gre za teste z dvema možnima izidoma – pozitivnim in negativnim. Težave, ki jih povzročajo lažno pozitivni testi, so deloma posledica naše vere v natančnost medicinskih preiskav. Pojavu pogosto pravimo utvara gotovosti. Pomembna elementa ocene testa, sta njegova občutljivost, ki predstavlja lastnost, da najdemo vse primerke, kar predstavlja popolno občutljivost in njegova specifičnost, kjer to, da nimamo nobenega lažnega primerka, predstavlja popolno specifičnost. Preden začnete na podlagi enega samega testa brez potrebe izgubljati živce, se pozanimajte, kakšna je njegova občutljivost in specifičnost, in izračunajte verjetnost nepravilnega izvida.
Matematični zakoni
Matematika v sodni dvorani ima že dolgo in ne preveč imenitno brado. Prva znana (zlo)raba je bila v političnem škandalu, ki je razklal francosko republiko in ki ga po vsem svetu poznamo kot ‘Dreyfusovo afero’.
Ponavadi ob predstavitvi matematične formule iz spoštovanja do učenjaka, ki jo je pričaral, glave modro pokimajo, ne da bi zahtevale dodatno razlago. Zaradi skrivnostnosti, povezane s številnimi matematičnimi utemeljitvami, so te tako nedoumljive in hkrati, pogosto nezasluženo, tako občudovanja vredne.
Na škotskih sodiščih se lahko uporabi razsodba ‘nedokazano kriv’, ki se lahko uporabi pri oprostilni sodbi, pri kateri sodnik ali porota ni zadostno prepričana o obtoženčevi nedolžnosti, da bi ga razglasila za nedolžnega. V teh primerih je obtoženec še vedno oproščen, ampak razsodba sama ni nepravilna.
Leta 1989 je bi Meadow, takrat ugleden britanski pediater, urednik knjige ABC of Child Abuse (ABC otroških zlorab), ki je vsebovala aforizem, ki je postal Meadowov zakon: » Ena nenadna smrt dojenčka je tragedija, dve sta sumljivi, tretja pa je umor, dokler ni dokazano nasprotno.«[1] To poenostavljeno vodilo pa temelji na temeljnem nerazumevanju verjetnosti. Na enakem nerazumevanju, s katerim je Meadow zavedel poroto na sojenju Sally Clark: na preprosti razliki med odvisnimi in neodvisnimi dogodki.
Dogodka sta odvisna, če vedenje o enem dogodku vpliva na verjetnost drugega. Drugače sta neodvisna. Ko so pred nami verjetnosti posameznih dogodkov, te verjetnosti običajno pomnožimo, da dobimo verjetnost kombinacije dogodkov.
Preprost primer ekološke zmote bi bila izjava, da bo zaradi višje povprečne pričakovane življenjske dobe žensk v primerjavi z moškimi vsaka naključno izbrana ženska živela dlje od naključno izbranega moškega. Ta zmota ima posebno ime – ‘posplošitev’.
Povprečje povprečja je dopustno izračunati samo v primeru, da smo prepričani, da smo upoštevali zavajajoče spremenljivke. Moteča ali zavajajoča spremenljivka je tista, ki nam lahko popači rezultate, če jo ne obravnavamo primerno v odnosu do celotne meritve.
Na ekološke zmote in dobro urejen nadzor so zelo pozorni tisti, ki pripravljajo klinične preizkuse.
‘Tožilska zmota’ je znan pojav v sodnih dvoranah. Ta svoje utemeljevanje bazira na trditvah, da je obstoj določenega dokaza zelo malo verjeten. Tožilstvo nato nepravilno sklepa, da je druga možnost – osumljenčeva krivda – izjemno verjetna.
Smrt dveh dojenčkov v zibki je izjemno malo verjeten dogodek. To pa nam samo po sebi ne pove kaj dosti koristnega o verjetnosti, da je Sally umorila svoja otroka.
V času, ko so se prvič domislili profila DNK, bi priprava profila celotnega genoma zahtevala preveč podatkov, poleg tega pa bi bila predolga in predraga. Tudi primerjava dveh profilov bi trajala neverjetno dolgo. Namesto tega profil DNK dobijo z analizo 13 posebnih mest na človekovem DNK, imenovanih lokusi.
Včasih ne moremo pridobiti dobrega vzorca in tako imamo delne profile, ki nimajo signala na vseh lokusih.
Z združitvijo dveh manj prepričljivih raziskav dobimo precej prepričljivejši rezultat kot s katerim koli posameznim preizkusom samim. Podobno tehniko pogosto uporabljajo pri znanstvenih metaanalizah.
Če bi morali paziti, da nas izjemno majhne verjetnosti ne bi prehitro prepričale o krivdi neke osebe, tudi ovržb teh številk ne bi smeli preprosto sprejeti kot dokaz za njeno nedolžnost.
Če se zapičimo v podrobnosti lepe matematične utemeljitve, zapletenega izračuna ali nepozabne številke, pogosto pozabimo postaviti bistveno vprašanje: je omenjeni izračun sploh pomemben?
Resnici ne gre verjeti
Nenehne nas bombardirajo s številkami. Zato narašča potreba po računskih veščinah. Statistične podatke je preprosto težko razlagati.
Najmanj opazna in najučinkovitejša matematična zavajanja so tista, pri katerih se sploh ne zdi, da je v igri kakšna številka.
Verjetnost, da se dva ali več dogodkov zgodi na isti dan, se povečuje s številom dogodkov. Ko je teh 23, verjetnost za ujemanje znaša malo več kot 0,5. ob 39 neodvisnih dogodkih se verjetnost za to, da vsaj dva prideta na isti dan, poveča na skoraj 0,9.
Vse kaže, da navidezna nepristranskost statističnih podatkov pravi: »Ne verjemite nam na besedo, verjemite neizpodbitnemu dokazu.«
Poročevalska pristranskost se pojavi, ko tisti, ki so naklonjeni stvari, ki jo preučujejo, izberejo za predstavitev samo pozitivne rezultate.
Kombinacija dveh ali več vrst pristranskosti lahko da občutno drugače rezultate od tistih, ki so pričakovani v nepristranskem vzorcu.
Primer uporabe pristranskosti je na primer uporaba relativnega tveganja namesto absolutnega, ko so številke zelo majhne. Drug medijski trik za vzbujanje pozornosti je namerno spreminjanje tega, kar je za nas ‘običajna’ populacija.
Uporaba odstotkov namesto decimalnih števil za izpostavljanje domnevnih koristi spada v drugo družino trikov, ki ji pravimo ‘razmernostna pristranskost’.
Pri medicinskih poskusih je zelo pomembno izogibati se napačnemu sklepanju o vzročnosti. V dvojno slepem randomiziranem kontroliranem poskusu lahko vsako razliko med izboljšanjem v kontrolni skupini in izboljšanjem v poskusni skupini pripišemo zgolj zdravljenju, s čimer izključimo regresijo k povprečju.
Dobitnik Pulitzerjeve nagrade Upton Sinclair je dejal: »Težko je pripraviti človeka do tega, da bi nekaj razumel, če je njegova plača odvisna od nerazumevanja tega.«[2]
Če so govorci prepričani o verodostojnosti svojih številk, se ne bodo bali posredovati konteksta in vira, da jih lahko preverijo še drugi.
Ko vam nekdo porine pod nos nek statistični podatek, si zastavite vprašanja: ‘Kaj se z njim primerja?’, ‘Kakšen je vzgib?’ in ‘Je to vse v zvezi s tem?’
Na napačnem kraju ob napačnem času
Trenutni številski sistem, ki se ga držimo, imenujemo ‘desetiški mestni sistem’. Ta naj bi izhajal iz štetja z našimi desetimi prsti.
Ko je kultura sprejel sistem štetja, se je tako ponudila možnost za razvoj višje matematike, ki bi jo bilo mogoče uporabiti v praksi.
Bostonska javna knjižnica nosi napis MDCCCLXXXVIII in je s 13 znaki najdaljša rimska številka v zadnjem tisočletju. Gre za leto 1888, v katerem je bila dograjena.
Sumerci so uporabljali šestdesetiški sistem. Morda je bil glavni razlog za uporabo tega sistema, da je olajšal računanje z ulomki in deljenje. Stari Grki so na podlagi sumerske tradicije razdelili vsako stopinjo na 60 minut, vsako minuto pa na 60 sekund.
Poenotenje časa v Angliji na greenwiški čas se je začelo, ko je Great Western Railway privzelo ta čas za poenotenje v njihovem omrežju leta 1840. Šele leta 1880, pa je britanski parlament končno sprejel ustrezno zakonodajo.
V ZDA so uvedli časovne pasove leta 1883. Kanadčan Sanford Fleming je predlagal na mednarodni konferenci leta 1884, da se cel svet poenoti glede pasov. Šele leta 1986 je Nepal končno nastavil svoje ure po pasovih.
ZDA ostajajo v družbi Liberije in Mjanmara kot ena od zgolj treh držav na svetu, v katerih raba metrskega sistema ni pogosta. Britanija je prehod na metrski oziroma metrični sistem začela leta 1965 in je zdaj formalno metrska država.
V dvojiškem mestnem sistemu ista številka eno mesto levo od sosednje predstavlja dvakrat večje število namesto desetkrat večjega, kot smo vajeni v desetiškem.
Z nobeno osnovo pa ni mogoče točno zapisati vsakega števila z zgolj končnim nizom števk. Dvojiški sistem je najbolj smiselna izbira za računalnike.
Že od nekdaj so hitre odločitve ‘da ali ne’ pomenile razliko med življenjem in smrtjo.
Z razčlenjevanjem napak, zagrešenih v preteklosti, nam sodobna, na matematiki temelječa tehnologija, včasih z dvomljivim uspehom, omogoča izogibanje enakim računskim napakam v prihodnosti.
Nenehna optimizacija
Algoritem je zaporedje navodil, ki natanko opredeljujejo nalogo. V večini definicij algoritma – seznama navodil, kako izpolniti neko nalogo – so sumljivo odsotni vhodni in izhodni podatki, ki dajejo algoritmom težo. Brez teh povezav z resničnim svetom so algoritmi samo abstraktni skupki pravil.
Leta 2000 je Clayev matematični inštitut objavil seznam sedmih ‘problemov za nagrado tisočletja’, ki veljajo za najpomembnejše nerešene probleme v matematiki. Ti so Hodgeeva domneva, Poincarejeva domneva, Riemannova hipoteza, Yang-Millsov problem obstoja in primankljaja mase, Bircheva in Swinnerton-Dyerjeva domneva in problem P proti NP. V času pisanja knjige je bila rešena zgolj Poincarejeva domneva.
Rešitev problema P proti NP lahko ima daljnosežne posledice na tako različnih področjih, kot so internetna varnost in biotehnologija. Izziv P proti NP sprašuje, ali vsi problemi v razredu NP, ki jih je mogoče hitro preveriti, ampak za katere ni znanega algoritma za hitro rešitev, pravzaprav spadajo tudi v razred P.
Najpreprostejšemu algoritmu za urejanje velikih zbirk pravimo ‘mehurčno urejanje’. Pri mehurčnem urejanju začnemo urejati zbirko na enem koncu, tako da urejamo po vrsti, dokler niso vsi elementi urejeni. Drug algoritem je razvrščanje z zlivanjem, ki deluje tako, da razdeli celoto v majhne skupine, ki jih potem hitro uredi in zlije v pravilnem vrstnem redu.
Problem trgovskega potnika je problem kombinatorične kompleksnosti. Več kot je mest kamor mora priti trgovski potnik, bolj kompleksna je naloga, da je ta pot najbolj učinkovita.
Zdi se, da je vprašanje P proti NP v bistvu bitka odkrivanja, ali je mogoče človekov ustvarjalnost avtomatizirati.
Dijkstrov algoritem iške rešitev za ‘problem najkrajše poti’ v polinomskem času.
Največje število, ki ga ni mogoče doseči z večkratniki določene množice števil, se imenuje Frobeniusovo.
Kadar delujejo, so požrešni algoritmi izjemno učinkoviti postopki za reševanje problemov. Ko jim spodleti, pa so lahko še huje kot neuporabni.
Optimizacija s kolonijami mravelj je samo eden iz družine pripomočkov po vzoru narave, ki jim pravimo algoritmi inteligence rojev. Daleč najslavnejši algoritem narave je evolucija.
Vprašanje o strategiji optimalnega ustavljanja je zanimiv algoritem. Pri sto poskusih je formula za izračun najboljše verjetnosti 1/e, pri čemer je e konstanta, ki jo imenujemo Eulerjevo število. Ta je 2,718 in iz tega sledi, da je najboljša možnost, ko zavrnemo 37 možnosti.
Obstajajo celo takšni algoritmi za optimalno ustavljanje, ki nam lahko povedo, s koliko ljudmi, naj bi hodili, preden se sklenemo ustaliti. Če poenostavimo, če iščemo partnerja med 18 in 35 letom, potem bi morali izbrati osebo, ki jo srečamo po 37% teh 17 let, torej po šestih letih. Ta algoritem predvideva, da naj bi bila idealna oseba tista, ki bi jo srečali prvo po dopolnitvi 23 let.
Amazon se je znašel leta 2011 v središču polemik zaradi algoritma za samodejnega določanja cen.
Twitter, ki ga pogosto razglašajo za branik preglednosti med družbenimi omrežji, uporablja sorazmerno preprost algoritem za določanje, katere teme so trenutno priljubljene. Ta išče močne poraste v rabi ključnikov, namesto da bi predlagal teme zgolj na podlagi obsega objav.
S tem, ko optimizacijski algoritmi prežemajo vse več plasti našega sedanjika, moramo mi – uporabniki takšnih bližnjic – prevzeti del odgovornosti za zagotavljanje resničnosti izhodnih podatkov, ki jih dobivamo.
Dovzeten, kužen, izločen
Bolezni mučijo ljudi, vse odkar se je naša človečnjaška vrsta ločila od šimpanzov in bonobov.
S tem, ko je predlagala zaščitne ukrepe za ustavitev širjenja HIV in ukrotila krizo ebole, matematična epidemiologija igra ključno vlogo v boju proti obsežnim okužbam.
Črne koze so odpravili z vakcinacijo, ki jo našel Edward Jenner. Še preden je Jenner razvil vakcinacijo, so ljudje v Indiji in na Kitajskem lotevali variolizacije. V nasprotju s cepljenjem oziroma vakcinacijo so pri variolizaciji posameznike izpostavili majhni količini snovi, povezani z boleznijo samo.
Daniel Bernoulli je razvil enačbo, ki opisuje delež ljudi določene starosti, ki niso nikoli zboleli za črnimi kozami in so bili zato še vedno dovzetni za bolezen. Enačbo je prilagodil glede na tablico umrljivosti, ki jo je sestavil Edmund Halley, ki je opisovala delež živorojenih otrok, ki so preživeli do določene starosti. Iz tega je lahko izračunal delež ljudi, ki so imeli bolezen in okrevali, pa tudi delež tistih, ki so ji podlegli.
Anderson McKendrick je bil prvi znanstvenik, ki je dokazal, da se bakterije na podlagi modela logistične rasti razmnožujejo do nosilne sposobnosti. McKendrick je na Škotskem spoznal Williama Kermacka. Skupaj sta razvila enega najzgodnejših in najpomembnejših matematičnih modelov širjenja bolezni. Ljudje, ki še niso zboleli so ‘dovzetni’. Tisti, ki so zboleli, so ‘kužni’. Tretji skupini pa pripadajo ‘izločeni’, ti so preboleli bolezen in so imuni. Tej klasični matematični ponazoritvi širjenja bolezni pravimo model ‘SIR’.
Model SIR ponazarja, kako pomembno je, da ne hodimo v službo, kadar smo bolni. Model SIR predvideva, da izbruhi nazadnje izzvenijo zaradi pomankanja kužnih ljudi, ne dovzetnih.
Med glavnimi razlogi, zakaj je HIV postal pandemičen je njegova dolga inkubacijska doba.
S postopkom, imenovanim ‘sledenje stikom’, lahko epidemiološki strokovnjaki pregledujejo številne generacije okuženih posameznikov nazaj vse do prvotnega primera – prvega bolnika.
Povprečnemu številu doslej neizpostavljenih posameznikov, ki jih okuži en sam, sveže uvožen prenašalec bolezni, pravimo ‘osnovno reprodukcijsko število’ – tega pogosto zapišemo kot R0. Če R0 bolezni znaša manj kot 1, bo okužba izzvenela hitro, saj vsaka kužna oseba v povprečju prenese bolezen na manj kot enega drugega posameznika. Če je R0 večji od 1, bo izbruh rasel eksponentno.
Z matematičnimi modeli širjenja bolezni so ugotovili, da je uspešnost karantenske strategije odvisna od trenutka, ko je dosežen vrh nalezljivost.
Predstava, da lahko velika populacija imunih posameznikov upočasni ali celo zaustavi širjenje bolezni je matematični pojem, imenovan ‘skupinska ali čredna imunost’.
Matematična emancipacija
Matematika je dobrohotna zgolj toliko kot človek oziroma ljudje, ki z njo delajo.
Matematični modeli, nam lahko dajo slutiti, kakšna bo prihodnost.
Malo matematičnega znanja v naši vse bolj kvantitativni družbi pomaga vpreči moč številk v svojo korist.
Polovico bitke za matematično opolnomočenje dobimo, če si upamo postaviti pod vprašanje navidezno avtoriteto tistih, ki vihtijo orožje ter s tem razblinimo utvaro gotovosti.
Poskrbeti moramo, da oseba z najšokantejšo statistiko ne zmaga vedno v besednem dvoboju, tako, da zahtevamo razlago matematike v ozadju številk.
[1] V knjigi na strani 106
[2] V knjigi na strani 177
